FormFittingToolbox zur 2D und 3D-Formanalyse

Die Analyse von Formen oder Regelkörpern ist eine notwendige Aufgabe der Ingenieurgeodäsie und der modernen Messtechnik bspw. in der Qualitätssicherung. Aus einer ermittelten Punktwolke sind hierzu Parameter abzuleiten, die mit vorgegebenen Soll-Maßen zu vergleichen sind um die Güte des Objektes zu beurteilen. Die FormFittingToolbox, welche als Zusatzmodul in der freien Ausgleichungssoftware Java Graticule 3D (JAG3D) integriert ist, kann eine solche Formanalyse für verschiedene Funktionen in der Ebene und im Raum durchführen. Benötigt werden hierfür Punkte, die auf der zu analysierende Form liegen und diese beschreiben. Die Schätzung der Formparameter erfolgt als Ausgleichungsrechnung - formuliert als Gauß-Helmert-Modell. Als Beobachtungstyp sind formabhängig Punkte in der Ebene bzw. im Raum notwendig, die mit unterschiedlichen a-priori Genauigkeiten ins stochastische Modell eingehen können. Eine kurze Beschreibung der Regressionsformen, deren Parameter mit der FormFittingToolbox abgeleitet werden können, ist im Folgenden aufgelistet.

• Regressionsgerade (2D und 3D)
  Aus einer gegebenen Punktwolke werden die Parameter einer Regressionsgerade geschätzt. In der Ebene ist dies neben dem Anstieg auch die Verschiebung entlang der mathematischen Y-Achse. Im Dreidimensionalen wird die Raumgerade durch 6 Parameter, die sich aus einem Richtungsvektor und einen Aufpunkt ergeben (Vektorform der Geradengleichung), eindeutig beschrieben.
• Polynome n-ten Grades (2D)
  Die zuvor beschriebene Gerade ist ein Sonderfall der Polynom-Approximation. Mithilfe der FormFittingToolbox lassen sich jedoch auch die Koeffizienten (a₀, a₁, ..., a_n) von Polynomen höheren Grades in der Ebene bestimmen. Derzeit ist die Anzahl der Koeffizienten auf zehn beschränkt, dies lässt sich bei Bedarf jedoch problemlos erweitern.
• Kreis (2D und 3D)
  Der Regressionskreis ist sowohl in der Ebene als auch im Raum durch die Koordinaten des Mittelpunktes und den Kreisradius definiert. Für den räumlichen Kreis werden darüber hinaus auch die Parameter der Regressionsebene, in der der Kreis liegt, bestimmt. Die Ableitung der Kreisparameter erfolgt hierbei als Schnitt zwischen einer Kugel und einer Ebene.
• Ellipse (2D und 3D)
  Der Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse, bei dem beide Halbachsen gleichgroß sind und somit dem Radius entsprechen. Bei der Schätzung der 2D-Ellipse kommt neben den Mittelpunktskoordinaten und den beiden unterschiedlichen Halbachsen als fünfter Parameter noch eine mögliche Verdrehung hinzu. Bei der Bestimmung der 3D-Ellipse werden, analog zur Kreisausgleichung, die Parameter der Regressionsebene als Zusatzparameter mitbestimmt. Weiterhin werden die beiden Brennpunkte ermittelt, sodass die Lage der Ellipse im Raum auch ohne explizite Angabe eines Drehwinkels eindeutig beschrieben ist.
• Ebene (3D)
  Bei der Überführung von 2D-Regressionsformen auf ihr räumliches Pendente wird das Modell in der Regel um zusätzliche Hilfsparameter erweitert. Zum Teil wurden diese Zusatzparameter durch eine Regressionsebene beschrieben (räumliche Kreis- und Ellipsenausgleichung). Bei der Ebenenausgleichung werden der Normalenvektor und der Abstand der Ebene zum Koordinatenursprung ermittelt.
• Kugel (3D)
  Wird die Kreisgleichung um die Z-Komponente der Koordinaten erweitert, so gelangt man zur Kugelfunktion (räumlicher Pythagoras). Die FormFittingToolbox bestimmt, analog zum Kreis in der Ebene, die Koordinaten des Mittelpunktes und den Kugelradius.
• Ellipsoid (3D)
  Die Parameterbestimmung ist bis auf die Regressionsebene identisch zur räumlichen Regressionsellipse. Es werden der Mittelpunkt, zwei Halbachsen und die beiden Brennpunkte eines Rotationsellipsoids geschätzt.
• Zylinder (3D)
  Der Zylinder wird durch 7 Parameter eindeutig beschrieben. Dies sind neben den 6 Parametern der Zylinderachse (vgl. räumliche Regressionsgerade) der Radius des Zylinderkörpers in Bezug zu dieser Achse.
• Kegel (3D)
  Ähnlich wie der Zylinder kann der Kegel durch 7 Parameter eindeutig beschrieben werden. Neben der Kegelachse, die durch den Scheitelpunkt und einen Richtungsvektor vollständig beschrieben wird (vgl. räumliche Regressionsgerade), ist dies der Öffnungswinkel des Regressionskegels.
• Paraboloid (3D)
  Geschätzt werden die 6 Parameter, die einen im Raum liegenden (symmetrischen) Rotationsparaboloid beschreiben. Dies sind neben einem Translationsvektor, zwei Drehwinkel und die Brennweite. Als Rotationsachse wird die Z-Achse angenommen.
• Quadrik (2D und 3D)
  Das Schätzen von Kurven und Flächen zweiter Ordnung (Quadrik) ist immer dann sinnvoll, wenn der Approximationsformtyp unbekannt ist oder keine gesicherten Informationen zu diesem vorliegen. Für Formen in der Ebene werden 6 und im Raum 10 Parameter bestimmt. (Die Typbestimmung lässt sich anhand der geschätzten Parameter der Quadrik durch eine Hauptachsentransformation durchführen.)

Die ermittelten Formparameter werden zusammen mit der geschätzten Standardabweichung ausgegeben. Ähnlich wie auch beim Modul CoordTrans für Koordinatentransformationen werden die eingeführten Punkte durch einen statistischen Test auf signifikante Abweichungen von der gewählten Form geprüft. Mögliche Ausreißer können so aufgedeckt und eliminiert werden. Bei einigen Formen kann es aus nummerischen Gründen sinnvoll sein, die gegebene Punktwolke auf den Schwerpunkt zu reduzieren. Diese Reduktion hat jedoch keine Auswirkung auf die Geometrie der Form und kann daher problemlos vorgeschalten werden.

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Das Formanalysemodul FormFittingToolbox ist Teil der freien Ausgleichungssoftware JAG3D und unterliegt somit ebenfalls den OpenSource-Bestimmungen der GNU-GPL und wird von SourceForge.net unterstützt. Die FormFittingToolbox wird zusammen mit JAG3D ausgeliefert. Um die FormFittingToolbox ausprobieren zu können, stehen Berechnungsbeispiele online zur Verfügung.

Java Graticule 3D